今度こそわかるガロア理論 芳沢光雄
[定義] 自己同型写像
群 から の上への同型写像を の自己同型写像という. の自己同型写像全体からなる集合を と書くと, は写像の合成に関して群となり( 上の対称群 の部分群),これを の自己同型群という(単位元は 上の恒等写像).
[定義] 代数拡大
体 は体 の拡大体であるとする.このとき, の元 が 上のある多項式 の根であるとき, は 上代数的であるといい,そうでないとき超越的であるという.また, のすべての元が 上代数的のとき, は の代数拡大体であるという.
体 が体 の拡大体であるとき, は 上の線形空間である.この線形空間の次元を で表し, の 上の次数という.とくに が有限のとき, は の有限次拡大体という.
[定義] 最小多項式
体 が体 の拡大体で, の元 が 上代数的であるとき,(略) に対して一意的に定まる を の 上の最小多項式といい, で表す(irreducible:既約).もちろん, は, 上の既約多項式である.
なお,一般に最高次係数が1の多項式をモニックという.そこで はモニックな規約多項式である.
[定義] 最小分解体
体 上の1変数多項式 が, の拡大体 において,
と1次式の積に分解されるとき, は の分解体という.また( の分解体はいろいろ考えられるだろうが), の分解体で の分解体となるものは体 を必ず含む.そこで,体 をLにおける の最小分解体という.
[定義] 分離的拡大
体 上の1変数多項式 の任意の分解体Lに対し, において
と分解できる(). は素元分解環であるから,この分解は においては一意的である.さらに, の 上の最小分解体は互いに 同型であるから,この分解はどのような分解体でも本質的には同じである.
それを踏まえて,各 は の 重根であるといい, のとき は の重根であるという.また のとき は分離的あるといい,そうでないとき は非分離的であるという.
が体 の代数拡大体であるとき, の元 の 上の最小多項式 が分離的か非分離的であるかによって, はK上分離的,非分離的であるという.
とくに,体 の代数拡大体 のすべての元が 上分離的である時, は 上分離的(拡大)であるという.さらに,体 のすべての代数拡大体が 上分離的であるとき,は完全体であるという.
[定義] 導関数
多項式 に対し,
を の導関数という.
[定義] 単純拡大
体 の拡大体 が の1つの元 によって と表されるとき, は の単純拡大であるという. であるので, は の単純拡大である.
[定義] 正規拡大
体Kの代数拡大体の元 , に対して, が成り立つとき, と は 上(互いに)共役であるという.
体 が体 の正規拡大であるとは, は の代数拡大で, の任意の元 に対し, は, の分解体になっている( の分解体が である)ときにいう.
したがって体 が体 の代数拡大であるとき,次が成り立つ.
が の正規拡大
の任意の元 に対し, と 上共役な( の代数て拡大体の)元はすべて に属する
[定義] 自己同型群
が体のとき, から の上への体としての同型写像を の自己同型写像といい,それら全体からなる集合を で表し,これを の自己同型群という.実際,写像の合成に関して が群であることは明らかである.また, が体 の拡大体であるとき,
は 上では恒等写像
も写像の合成に関して群になる.特に が の正規拡大である場合には,この群を の 上のガロア群という.
[定義] 不変体,不変群
が体, が の自己同型群 の部分群であるとき,
すべての に対し
を( における) の不変体と呼んで, で表す. は の部分体である.
逆に が体 の拡大体であるとき,
すべての に対し
を( における) の不変群と呼んで, で表す. は の部分群である.
[定義] ガロア拡大
体 が体 の分離的正規拡大体であるとき, は のガロア拡大という.さらに, が可換群,巡回群となるとき,それぞれ は のアーベル拡大,巡回拡大という.
を標数0の体とし, を 上の重根を持たない多項式とする.このとき を の 上の最小分解体とすると, は 上のガロア拡大となる.このとき の 上のガロア群 を のガロア群といい, で表すことにする.