『数、方程式とユークリッド幾何』メモ

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系 2.3.16 加法群 Z/nZ の自己同型の群は，既約剰余類の乗法群 (Z/nZ)^\times と同型である．

 最後の「同型」は，自己同型の群と既約剰余類の乗法群の間の「同型」．「同型」がたくさんでて，混乱する．

たとえば，Z/3Z は，加法群として見た場合，[0], [1], [2] からなる群で，その単位元は [0]．自己同型の群は，恒等写像 \epsilon（[0], [1], [2] をそれ自身に移す写像）と [0] を固定し，[1], [2] を入れ替える互換からなる写像 \varphi の2つ．自己同型の演算は \epsilon \cdot \epsilon = \epsilon, \epsilon \cdot \varphi = \varphi, \varphi \cdot \epsilon = \varphi, \varphi \cdot \varphi = \epsilon となる．

既約剰余類の乗法群 (Z/3Z)^\times は， [1], [2] からなる群で，単位元は [1]，演算は，[1] \cdot [2] = [2], [2] \cdot [1] = [2], [2] \cdot [2] = [1] となる．

 加法群 Z/nZ の自己同型の群の \epsilon と \varphi をそれぞれ既約剰余類の乗法群 (Z/3Z)^\times の  [1], [2] に移す写像がこれら2つの群の同型写像となる．