『ガロワと方程式』の見落とし項目

(p.112) 拡大体の同型の個数の決定．

[定理 5.2] $\mathbb{Q}$ 上代数的数は，任意の同型により $\mathbb{Q}$ 上の共役数に写される。

証明：（略）

この定理から，代数的数 $\alpha$ を $\mathbb{Q}$ に添加した体 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ に同型な体 $E$ は，ある $\alpha$ の共役数 $\alpha_i$ があって， $E = \mathbb{Q}(\alpha_i)$ となることがわかります． $\mathbb{Q}$ の元は不動ですから，

$\sigma:\mathbb{Q}(\alpha) \cong \mathbb{Q}(\alpha_i)$ (5.1)

つまり， $\mathbb{Q}(\alpha)$ に同型な体は，共役体以外にはないということがわかります．（略）

[定理 5.3] $\mathbb{Q}$ 上 $n$ 次の代数的数 $\alpha$ に対して，その共役数を $\alpha = \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_{n}$ とすると， $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ の同型（な体）はちょうど $n$ 個（ $[K : Q] = n$ に注意）あり，それらは $\sigma_i(\alpha) = \alpha_i$ で完全に定まる．

$\sigma_i(a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_{n-1}\alpha^{n-1}) = a_0 + a_1\alpha_i + \cdots + a_{n-1}\alpha_i^{n-1}$

（ただし， $a_0,a_1,\cdots,a_{n-1} \in F$ ）

$\sigma_i : \mathbb{Q}(\alpha) \cong \mathbb{Q}(\alpha_i) \hspace{15pt} (i = 1,2,\cdots,n)$

一般の体の場合：

[定理 5.5] 体 $F$ 上 $n$ 次の代数的数 $\alpha$ に対して， $\alpha$ の $F$ 上の相異なる共役数を $\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ とすると， $K = F(\alpha)$ の $F$ 上の同型はちょうど $m$ 個あり，それらは $\sigma_i(\alpha) = \alpha_i$ で完全に定まる．すなわち

$\sigma_i(a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_{n-1}\alpha^{n-1}) = a_0 + a_1\alpha_i + \cdots + a_{n-1}\alpha_i^{n-1}$

（ただし， $a_0,a_1,\cdots,a_{n-1} \in F$ ）

$\sigma_i : F(\alpha) \cong F(\alpha_i) \hspace{15pt} (i = 1,2,\cdots,m)$

特に， $\alpha$ が $F$ 上分離的ならば，

$m = [F(\alpha) : F] = n$

である．