ガロワと方程式

6.1 ガロワ拡大とガロワ群

[定義 6.1] ガロワ拡大体

体 F の分離拡大体 K の F 上のすべての共役体が一致しているとき，この共通の体 K を，F のガロワ拡大（体）であるという．

 

補足

  • 「体 F の分離拡大体 K」：K は，その任意の元が F 上分離的（元が重根を持たない最小多項式の根である．
  • [定理 4.15] (p.107)「K が F の分離拡大であれば，単拡大である．すなわち，K = F(t) となる t \in F が存在する」により，ある \alpha \in F があって，K = F(\alpha) で，\alpha の F 上の共役数を \alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_n としたとき，K が F のガロワ拡大であるとは，以下が成り立つこと．

K = F(\alpha) = F(\alpha_2) = \cdots = F(\alpha_n)

  • K = F(\alpha) なら，[定理 4.3] (p.87)「a が F 上 n 次の代数的数であれば，F(a) の任意の元は，すべて a の n-1 次の多項式として一意的に表せる」と [定理 4.6] (p.92)「F 上代数的な a,b に対して，a+b,a-b,ab,a/b も F 上代数的である」から，K の任意の元は，F 上代数的，すなわち分離的である．
  • \alpha の F 上の最小多項式を f(x) としたとき，K が f(x) のすべての根を含んでいる，すなわち，K で f(x) は1次多項式の積に分解するので，K は f(x) の分解体であるというのと同義．
  • K の F 上の同型はすべて K を K に写すので，K が F 上のガロワ拡大であれば，K の自己同型になる．

 

[定義 6.2] ガロワ群

体 K が体 F のガロワ拡大であるとき，K の F 上の自己同型（F の元を不動にする自己同型 (p.112)）のなす群を，K の F 上のガロワ群といい，Gal(K/F) と記す．（※ Gal (K/F) は，K の自己同型群 Aut(K) の部分群である．）