65ページ 系 2.3.16 加法群 の自己同型の群は，既約剰余類の乗法群 と同型である． 最後の「同型」は，自己同型の群と既約剰余類の乗法群の間の「同型」．「同型」がたくさんでて，混乱する． たとえば， は，加法群として見た場合， からなる群で，その単位…

(p.112) 拡大体の同型の個数の決定． [定理 5.2] 上代数的数は，任意の同型により 上の共役数に写される。 証明：（略） この定理から，代数的数 を に添加した体 に同型な体 は，ある の共役数 があって， となることがわかります． の元は不動ですから， (…

『今度こそわかるガロア理論』(p.147) [定義] 根号表示 を含む体 上の多項式 の根 が（ 上で）根号表示されるとは， の元と根号 と四則演算によって が表せるときにいう．そして 上の多項式 のすべての根が（ 上で）根号表示されるとき， は代数的に解けると…

「ガロワと方程式」，「代数の世界」の定義中の「すべての共役体が一致している」というのがしっくりこない．体 K が体 F 上のガロワ拡大であるというのは，要は，K は F 上の代数拡大で，K の各元の（F 係数の） 最小多項式（既約多項式？）は，重根をもた…

6.1 ガロワ拡大とガロワ群 [定義 6.1] ガロワ拡大体 体 の分離拡大体 の 上のすべての共役体が一致しているとき，この共通の体 を， のガロワ拡大（体）であるという． 補足 「体 の分離拡大体 」： は，その任意の元が 上分離的（元が重根を持たない最小多…

[定義] 自己同型写像 群 から の上への同型写像を の自己同型写像という． の自己同型写像全体からなる集合を と書くと， は写像の合成に関して群となり（ 上の対称群 の部分群），これを の自己同型群という（単位元は 上の恒等写像）． [定義] 代数拡大 体…

原書では… 10. アーベル群のその応用*1 (63ページ) 定理 26. 体の乗法群の任意の有限部分群 は巡回群である． 補題 1. 1つのアーベル群の元 と の位数をそれぞれ ， とし， を と の最小公倍数とすると，この群の中には位数 の要素が存在する．*2 証明 （略…

いま決まっていること： サイズはB6：A5にするか迷ったが、大きくすると記入文字が大きくなるのでしっくりこないから現行と同じB6にした。 罫線の間隔は4mm 週の始まりは月曜日：日曜はウイークエンドとした。 罫線の色はオレンジ系：現行の青系の色はちょっ…

今年（2019年）に引き続き2020年も作る予定。 2019年版でやり忘れたこと、2020年版でやったほうがいいことは、以下の通り。 しおり紐をつけること 週の始まりを月曜にすること 罫線の色をグレーなど他の色にすること（2019年版は、薄いブルー） 検討中のこと…

定理 9.2 ガロワ対応（多項式の群の部分群と根の式のなす体との対応） ：重根を持たない多項式 の群 ：根の式のなす体 とする．以下の対応 根の式のなす体 に含まれる根の式の値をすべて不変にする の元全体（ の部分群） の部分群 で不変な根の式全体（根の…

（P.150, P.153） 定理 9.1 （基本定理） 重根を持たない 次多項式 に対して，その根 の入れ換えのなす群 であって，次の性質をみたすものがただ１つ存在する： (1) の2つの式が同じ値を定めるならば， の各元で根を入れ換えても2式の値は等しい．すなわち，…

(129ページ) の元 が の元を係数とする多項式の根であるとします．このような多項式を以下，単に 係数多項式と呼びます． を根に持つ 係数多項式のなかで，次数が最小の単多項式を の 上の最小多項式，あるいは 最小多項式といいます．また， が明らかな場合…

（119ページから） ■１の原始 n 乗根の性質（５つ） (1) の根 の根はすべて （ は と互いに素）の形（ のべき）になります．以下， の次数を とおきます．この は のうち， と互いに素な整数の個数になります．この を と表し， をオイラー関数といいました…

5次以上の方程式には解の公式がないことをいうためには、以下を証明すればよい。 を数体としたとき、係数の既約多項式の根 の 上のガロア群が可解群でないのなら、 は 上べき根で表すことができない。 そのために、この本は上の内容の対偶である以下の定理を…

解けない方程式の「からくり」はこうだ (207ページ) : 体、 とする。 べき根拡大 K が F のある要素のべき乗根を加えたものであるとき、「体 K を体 F のべき根拡大」と呼ぶ。 巡回拡大 K の F 上の自己同型の作る群が巡回群であるとき、「体 K を体 F の巡…

184ページ（第10章 べき根と方程式の解） 定理 10.4 （べき根の 式で表される根を持つ多項式の特徴づけ） 重根を持たない多項式 に対して，次は同値である． の根がすべてべき根の式で表される． 多項式 の群は可解である． 『天才ガロアの発想力』では、「2…

(182ページ) : 体 : の数を係数とする方程式の解から作った体 : 体の体上の自己同型の成す群（i.e.,の元は固定される） : の部分群 とする。 ガロアの定理：部分群と中間体の対応 のすべての元で不変となるの元の集合は、との中間体を作る。 群の元のうち、…

ガロアの定理の証明：超ざっくり版（176ページ） 与えられた方程式に解の公式が存在するかどうか（四則計算とべき根ですべての解を求めることができるかどうかは、次のように表現できる。 有理数体 からスタートして、べき根を加えて体を拡大することを繰り…

旧暦では、今日から三月。 今日は、風も穏やかで暖かな午前中だったが、その後、雲が広がり、うす曇りとなった。 午前中は、もらった招待状で、『ベン・シャーン クロスメディア・アーティスト』（名古屋市美術館）。初期の作品より、後期の作品の方が馴染み…