本質を学ぶ ガロワ理論最短コース

184ページ（第10章 べき根と方程式の解）

定理 10.4 （べき根の 式で表される根を持つ多項式の特徴づけ）

重根を持たない多項式 に対して，次は同値である．

1. の根がすべてべき根の式で表される．
2. 多項式 の群は可解である．

 『天才ガロアの発想力』では、「2.」「1.」をボカして書いてあったと思う。

で、5次方程式のガロア群 の正規部分群は、、、 しかないから、5次方程式の根はべき根の式で表すことができない（アーベル-ルフィニの定理）というところにたどり着く。

5次方程式の解の公式がないことの別の証明は、

定理 10.5 （素数次可解既約多項式の特徴づけ（ガロワ））

素数次既約多項式 に対して，次は同値である．

1. の根はべき根の式で表される．
2. の（任意の）2つの根に対して， のほかの根がすべて，この2つの根の式で表される．

 ここから

多項式がべき根の式で表される根を持つとき，その2つの根でほかの根が表されます．したがって多項式の群に含まれる根の入れ換えは，2個の根をどの根に入れ換えるかによって決まります．よって多項式の群は高々 個しか，根の入れ換えを含みません．ところが一般の5次方程式の群は なので（120個の入れ替えからなるので），ガロワの定理より，一般の5次式の根はべき根の式で表されません． 

 というふうに証明もできるそうです。