完全版天才ガロアの発想力 (2)

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$F$ : 体
$K$ : $F$ の数を係数とする方程式の解から作った体
$G$ : 体 $K$ の体 $F$ 上の自己同型の成す群（i.e., $F$ の元は固定される）
$H$ : $G$ の部分群

とする。

ガロアの定理：部分群と中間体の対応

$H$ のすべての元で不変となる $K$ の元の集合は、 $F$ と $K$ の中間体を作る。

群 $G$ の元のうち、体 $F$ と体 $K$ の中間体Mの数すべてを不変にする自己同型は、群 $G$ の部分群となる。

固定体：上記 1. で、体 $K$ の体 $F$ 上の自己同型を成す群 $G$ の部分群 $H$ の元で不変になる $K$ の元の作る $K$ と $F$ の中間体を「部分群 $H$ の固定体」と呼び、 $K(H)$ と書く。

$K(H) = \{x \in K|\forall h \in H, h(x) = x\}$

固定群：上記 2. で、体 $F$ と体 $K$ の間にある中間体 $M$ の元のすべてを不変にする群 $G$ の自己同型の作る集合を「中間体 $M$ の固定群」と呼び、 $G(M)$ と書く。

$G(M) = \{g \in G|\forall x \in M, g(x) = x\}$

ガロアの定理：部分群と中間体のハッセ図の一致

$G$ の部分群のハッセ図と体 $F$ と体 $K$ の中間体のハッセ図は、系図として完全に一致し、集合の包含関係は逆になる。

ガロアの定理：ガロア理論の基本定理１

体 $F$ と体 $K$ の中間体 $M$ の固定群 $G(M)$ で固定されるのは $M$ の数のみである。i.e., $K(G(M)) = M$ 。また逆に、部分群 $H$ の固定体に対する固定群は $H$ 自身である。i.e., $G(K(H)) = H$ 。

ある数 $x$ が中間体 $M$ の元であることを調べるには、 $M$ の固定群 $H (=G(M))$ のすべての自己同型で $x$ が不変であれば、 $x \in M$ がいえる。

$f_M$ : 群 $G$ の自己同型 $f$ を $M$ の数だけを入力するように制限したもの

とする。

このとき、 $f \in H \Rightarrow f_M = ``M$ の恒等写像 $(e_M)''$ が成り立つ。...

ガロアの定理：ガロア理論の基本定理２

$G$ に属する自己同型を体 $K(H)$ に制限して作用させたものがすべて体 $K(H)$ の $F$ 上の自己同型となるのは $H$ が $G$ の正規部分群であるときであり、その場合に限る。

$G$ の部分群 $H$ が $G$ の正規部分群であるときは、固定体 $K(H)$ の $F$ 上の自己同型の成す群は、群 $G$ の正規部分群 $H$ による右剰余類の成す群と同型になる。