本質を学ぶガロワ理論最短コース

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■１の原始 n 乗根の性質（５つ）

(1) $\Phi_n(x)$ の根

$\Phi_n(x)$ の根はすべて $\zeta^k$ （ $k$ は $n$ と互いに素）の形（ $\zeta$ のべき）になります．以下， $\Phi_n(x)$ の次数を $s$ とおきます．この $s$ は $1, 2, \cdots, n - 1$ のうち， $n$ と互いに素な整数の個数になります．この $s$ を $\phi(n)$ と表し， $\phi(n)$ をオイラー関数といいました．

(2) $\Phi_n(x)$ の根の式

$\Phi_n(x)$ の根の式は， $s - 1$ 次以下の $\zeta$ の多項式で表せます．実際，(1) より根の式を $f(\zeta)/g(\zeta)$ と表します． $g(\zeta) \neq 0$ なので，…

『 $\Phi_n(x)$ の根の式』とは、何か？

例えば、 $\Phi_6(x) = x^2 - x + 1$ で、その根は、 $(1 \pm \sqrt{-3}) / 2$ 。よって $\zeta = (1 + \sqrt{-3}) / 2$ 。 $\zeta$ でない方の根は、 $(1 - \sqrt{-3}) / 2 = \zeta^5$ だが（(1) の内容）、 $1 - \zeta = 1 - (1 + \sqrt{-3}) / 2 = (1 - \sqrt{-3}) / 2 = \zeta^5$ で、1次の $\zeta$ の多項式で表すことができる、というのが (2) の内容。