ガロアに出会う - halJam's diary

5次以上の方程式には解の公式がないことをいうためには、以下を証明すればよい。

$P$ を数体としたとき、 $P-$ 係数の既約多項式の根 $\alpha$ の $P$ 上のガロア群が可解群でないのなら、 $\alpha$ は $P$ 上べき根で表すことができない。

そのために、この本は上の内容の対偶である以下の定理を証明している。

定理 19.3 $P$ を数体とする．複素数 $\alpha$ が $P$ 上べき根で表せるならば， $\alpha$ は $P$ 上代数的であって $\alpha$ の $P$ 上のガロア群は，可解群である．

$P$ 上べき根で表せる複素数 $\alpha$ は、可解なガロア群をもつガロア拡大 $P \subset L$ の元である． $\alpha$ は $P$ 上代数的となって、 $\alpha$ の $P$ 上の最小多項式があって、その最小多項式の根を $P$ につけ加えた体 $K$ がある。求める $\alpha$ の $P-$ 上のガロア群は、 $G(K, P)$ で、このガロア群は、可解群である、というのがこの定理の証明の自分なりの要約。

ここで、複素数 $\alpha$ がべき根で表せるとは、

定義 4.1 $P$ を数体とする．複素数 $\alpha$ が $P$ 上べき根で表せるとは，以下の条件をみたす数体の列 $L_0, L_1, L_2, \cdots L_N$ が存在するときをいう．

(a) $P = L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \cdots \subset L_N$

(b) $\alpha \in L_N$

(c) $\forall i, 1 \leq i \leq N$ について， $L_i = L_{i-1}(u_i), u_i^{n_i} = c_i, c_i \in L_{i-1}$

ということ、つまり、『 $\alpha$ が $P$ に属する複素数と四則記号（＋，−，×，÷）とべき根記号の組み合わせで表せる』（84ページ）ことであり、また、可解群とは、

定義 19.2 群 $G$ が可解群であるとは次の (a) または (b) が成り立つときをいう．

(a) $G$ はアーベル群である。

(b) 次の条件 (1) と (2) をみたす群の列

$H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset \cdots \supset H_{n-1} \supset H_n$

が存在する．

(1) $G = H_0$ で，すべての $i$ について $H_{i+1}$ は $H_i$ の正規部分群である：

$G = H_0, H_0 \triangleright H_1, H_1 \triangleright H_2, \cdots, H_{n-1} \triangleright H_n$

(2) $H_0/H_1, H_1/H_2, \cdots, H_{n-1}/H_n$ および $H_n$ はすべてアーベル群である．

と定義する。

証明は、以下のように進む。

命題 21.5 により、 $P-$ 上べき根で表せる複素数 $\alpha$ を含む $P$ のガロア拡大体 $L$ で、そのガロア群 $G(L,P)$ が可解群である $L$ が存在する。
$\alpha \in L$ と $P \subset L$ より、 $\alpha$ は $P$ 上代数的である（命題 11.5 (a)）から、 $\alpha$ の $P$ 上の最小多項式 $h(x)$ の根 $\alpha, {\alpha}_2, \cdots ,{\alpha}_m$ を $P$ に付け加えた体を $K$ とおく。
このとき $\alpha$ の $P$ 上のガロア群は $G(K,P)$ で（定義 12.8）、 $\alpha \in L$ かつ ${\alpha}_2, \cdots ,{\alpha}_m$ は $\alpha$ と $P$ 上共役だから、 ${\alpha}_2, \cdots ,{\alpha}_m \in L$ 。よって、 $K \subset L$ 。
$P \subset L$ はガロア拡大だから、 $K \subset L$ もガロア拡大（命題 21.1）。よって、命題 18.1 より、 $G(L,P)/G(L,K) \cong G(K,P)$ 。
$G(L,P)$ が可解群であることと命題 21.3 (2) により、 $G(K,P)$ すなわち $\alpha$ の $P$ 上のガロア群は，可解群であることが証明される。

上の証明で使われた命題等は以下の通り。

命題 21.5 $P$ が数体で、複素数 $\alpha$ は $P$ 上べき根で表せるとする．このとき，次の条件をみたす $P$ の拡大体 $L$ が存在する．

(a) $\alpha \in L$

(b) $P \subset L$ はガロア拡大である．

(c) $G(L,P)$ は可解群である．

$P$ 上べき根で表せる複素数 $\alpha$ に対して、そのガロア群が可解群である $P$ のガロア拡大体である $L$ が存在するということ。

命題 11.5 $P \subset K$ をガロア拡大とする．このとき，次の (a) と (b) が成り立つ．

(a) $K$ に属するすべての複素数は $P$ 上代数的である：

$\beta \in K \Rightarrow \beta$ ： $P$ 上代数的

(b) $P$ 上共役な2つの複素数は，もし一方が $K$ に属していれるならば，もう一方も $K$ に属している．

$\beta, \gamma$ ： $P$ 上共役， $\beta \in K \Rightarrow \gamma \in K$

定義 12.8 複素数 $\alpha$ が $P$ 上代数的であるとする．そして， $\alpha$ の $P$ 上の最小多項式が $h(x), h(x) = 0$ の $\alpha$ 以外の根が $\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ であるとする：

$h(x) = (x - \alpha)(x - \alpha_2)\cdots(x - \alpha_m)$

そこで， $P$ に $\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ をつけ加えてできる $P$ の拡大体を $K$ とする：

$K = P(\alpha, \alpha_2,\cdots,\alpha_m)$

そうすると， $h(x)$ は $P-$ 係数多項式だから， $P \subset K$ はガロア拡大である．そこで，このガロア拡大 $P \subset K$ のガロア群を， $\alpha$ の $P-$ 上のガロア群と呼ぶ：

$\alpha$ の $P-$ 上のガロア群 $= G(P(\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_m), P)$

命題 21.1 $P, K, L$ は数体で， $P \subset K \subset L$ をみたすとする．このとき，もしも $P \subset L$ がガロア拡大ならば $K \subset L$ もガロア拡大である．

命題 18.1 $P, K, L$ が数体で， $P \subset K \subset L$ をみたし，

$P \subset K$ ， $K \subset L$ ， $P \subset L$

は，すべてガロア拡大であるとする．このとき， $G(L, K)$ は $G(L, P)$ の正規部分群であり， $G(L, P)$ の $G(L, K)$ による剰余群は $G(K, P)$ に同型である：

$G(L, P)/G(L, K) \cong G(K, P)$

命題 21.3 $G$ と $W$ が群， $H$ が $G$ の正規部分群で

$G/H \cong W$

であるとする．このとき，次の (1), (2) が成り立つ．

(1) $W$ と $H$ が両方とも可解群ならば， $G$ は可解群である．

(2) $G$ が可解群ならば， $W$ は可解群である．

19.3 の証明の 1. で使う可解群 $G(L, P)$ を持つガロア拡大体 $P \subset L$ は、 $\alpha$ を含んではいるが、この可解群は、 $\alpha$ の $P-$ 上のガロア群ではない。これは、定義 12.5 と命題 12.6 で決まる $P$ をとめる $L \rightarrow L$ の自己同型全体の集合からなる群のこと。